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対数関数 その2 常用対数

前回
$\log_2 16$
のような、簡単な対数が計算できるようになった。
$\log_2 16$について
小さい文字$_2$の部分を「底(てい)」
大きい文字$16$の部分を「真数(しんすう)」と呼ぶ。

対数は、真数部分を指数表記することで、少し楽ができる。例えば
$\log_3 49$について
$\log_3 49=\log_3 7^2$
である。
この時、真数部分の指数部($^2$)を、$\log$の前に掛け算の形で出すことができる。
$\log_3 7^2=2\cdot\log_3 7$
つまり、
$\log_3 49=2\cdot\log_3 7$
と書くことができる。なお、logの前の$\cdot$は省略できる。
なので
$\log_3 125=\log_3 5^3=3\log_3 5$
だし
$10\log_{10} 4=10\log_{10} 2^2=20\log_{10} 2$
と書ける。
つまり
$\log_x Y^z=z\log_x Y$
だ。

問題
次の式を簡単にせよ
(1)$2\log_4 36$
(2)$\log_a b^c$

解答
(1)$4\log_4 6$
(2)$c\log_a b$

対数は、真数部分を積の形で表記することで、少し楽ができる。
ここから先
$\log_{10} 2\fallingdotseq0.301$
$\log_{10} 3\fallingdotseq0.4771$
$\log_{10} \pi\fallingdotseq0.5$
を使っていく。

$\log_{10} 6$
について考える。真数を積の形で書くと
$\log_{10} 6=\log_{10} (2\cdot3)$
と書ける。このように、真数が積の形で書かれた時
$\log_{10} (2\cdot3)=\log_{10} 2 + \log_{10} 3$
というように、対数を分解することができる。
ということは
$\log_{10}6=\log_{10} 2 + \log_{10} 3\fallingdotseq0.301+0.4771=0.7781$

$\displaystyle\log_{10}\frac{4}{\pi^2}$
について考える。
真数を積の形になおそう。
$\displaystyle\frac{1}{\pi^2}=\pi^{-2}$
$\displaystyle4=2^2$
だから
$\displaystyle\log_{10}\frac{4}{\pi^2}=\log_{10}\left(2^2\cdot\pi^{-2}\right)$
だ。
なので
$\displaystyle\log_{10}\frac{4}{\pi^2}=\log_{10}\left(2^2\cdot\pi^{-2}\right)=\log_{10}{2^2}+\log_{10}\pi^{-2}=2\log_{10}2-2\log_{10}\pi$
$\displaystyle2\log_{10}2-2\log_{10}\pi\fallingdotseq2\cdot0.301-2\cdot0.5=-0.398$
となる。つまり
$\displaystyle\log_a\frac{B}{C}$という形の時
$\displaystyle\frac{B}{C}=B\cdot C^{-1}$であるため
$\displaystyle\log_a\frac{B}{C}=\log_a{B}-\log_a{C}$
と書き換えることができる。
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対数関数 その1 対数の基礎

前回、指数とは何かについて書いた。そして、指数部には小数や分数が入ってもいいということも学んだ。

$2^3=8$
$2^4=16$
ということは、3以上4以下の範囲で
$2^x=10$
になるような$x$があるはずだ。
そして、ある。
$2^{3.322}\fallingdotseq 10$
この、
$2^x=10$となるような$x$のことを
$\log_2 10$
書く。
同じように、
$3^x=9$
となるような$x$のことを
$\log_3 9$と書く。
つまり
$\log_3 9 = 2$
ということがわかる。

問題
次のようになる$x$を$\log$を使って書け。
(1)$7^x = 100$
(2)$\left(\frac{3}{5}\right)^x=5$
(3)$e^x=\cos\theta+i\sin\theta$

解答
(1)$\log_7 100$
(2)$\log_\frac{3}{5} 5$
(3)$\log_e(\cos\theta+i\sin\theta)$
(3)は、多項式全体を$\log$の中に入れなければならないので、カッコは必ずつけよう。

さて
$\log_a b$が具体的にどんな数値なのかを求めるということは、
「aっていう数値は、何乗すればbになるでしょ〜〜か?」という問題を解くということだ。
具体的には
$\log_2 8$を計算する場合
「2っていう数値は、何乗すれば8になるでしょ〜〜か?」ということだから
$2^3=8$
より、
$\log_2 8 = 3$
ということがわかる。
なので
$2^{\log_2 8}$を計算する場合
2の「2の指数にしたら8になるような数」乗なので、当然8になる。
もうひとつ具体例
$3^{\log_3 100}$を求めてみる。
$\log_3 100$というのは、$3^x=100$となるような$x$のことだった。
なので、
$3^{\log_3 100}=100$
だ。

問題
計算をせよ
(1)$\log_4 16$
(2)$\log_5 125$
(3)$3^{\log_3 7}$
(4)$a^{\log_a b}$

解答
(1)$2$
(2)$3$
(3)$7$
(4)$b$

対数関数 part0 指数法則について

ある程度進んだお勉強をしてると、指数や対数はよく出てくる。
そういう時、高校時代に算数サボってたり、あるいは学校で対数について教わったことがなかったりすると、詰む。
なので、そういった人たち向けに、あるいは軽く復習したい人向けに。
そもそも対数というのは
$log_aX$
こんなの。
これを理解するためには、対数そのものの前に指数の理解が必要だ。だから、今回の記事では指数について軽くおさらい。
では行こう。
指数というのは
$A^B$
こんなの。
具体的には
$3^2$
とか
$x^3$
とかいう形で数式に現れる。
$x^3$とは何かというと、
$x\cdot x\cdot x$
のこと。つまり、$x$を3回掛け算しましょう、という意味。
似たような(突っ込むなよ?)数式に、
$3x$
というものがあるが、これは
$3\cdot x$つまり、$3$かける$x$という意味だ。
この違いを頭に完璧に叩き込んだら、次に行こう。
というのも、一部の読者はびっくりするかもしれないが、指数と掛け算の区別がつかない高校生って意外と少なくないのだ。

問題
次の数式を指数を使わないかたちに書き直せ
(1)$x^4$
(2)$xy^3$
(3)$(xy)^3$

解答
(1)$x\cdot x\cdot x\cdot x$
(2)$x\cdot y\cdot y\cdot y$
(3)$(xy)\cdot(xy)\cdot(xy)=x\cdot x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot y$

ここまでは、中学校レベル。ここから難しくなるぞ。
これから考えるのは、例えばこんなもの
$3^{0.2}$
3を0.2回掛け算するとはなんぞや、と思うかもしれないが、この記事を読み終わるころにはきっと解けるようになる。
さて行こう。
$x^3\cdot x^2$
という数式を考えよう。
$x^3\cdot x^2=(x\cdot x\cdot x)\cdot(x\cdot x)$
だ。掛け算は順序を変えてもいいので、
$x^3\cdot x^2 = (x\cdot x\cdot x)\cdot(x\cdot x) = x^5$
ということがわかる。
他にも、
$3^2\cdot3^2=(3\cdot3)\cdot(3\cdot3)=3^4$
となる。もっと一般的な話をすると、
$x^a\cdot x^b=x^{(a+b)}$
ということがわかる。まずは、この公式を覚えよう。

問題
次の数式を簡単にせよ。
(1)$x^5\cdot x^4$
(2)$x^y\cdot x^z$
(3)$(ab)^2\cdot(ab)^3$

解答
(1)$x^{(5+4)}=x^9$
(2)$x^{(y+z)}$
(3)$(ab)^{(2+3)}=(ab)^5=a^5b^5$

じゃあ次に行こう。
$(3^5)^3$
という数式を考えよう。
$(3^5)^3=3^5\cdot3^5\cdot3^5=3^{15}$
となる。
$(a^b)^c=a^{bc}$
という公式が生まれた。

今作った2つの公式で面白いことをしてみる。
$x^a\cdot x^b=x^{(a+b)}$
より
$5^0\cdot 5^3=5^{(0+3)}=5^3$
$5^0\cdot 5^3=5^3$
$5^0\cdot 125=125$
となる。
ということは、
$5^0 = 1$
という事実が明らかになった。
$x^0 = 1$
確実に覚えてほしい。0ではないです。
次。
$(x^a)^b=x^{ab}$
より、
$(3^{0.5})^2=3^{(0.5\cdot2)}=3$
$(3^{0.5})^2=3$
ということがわかった。
つまり$3^{0.5}$を2回かけると3になる。
そういう、2回掛けたらナニカになる数値は「平方根」を使って表せばよい。
$3^{0.5}=\sqrt{3}$
ということがわかった。
ここから先はかなり難しいが、ついてきてほしい。
$\displaystyle x^{\frac{1}{a}}$が何になるかを考えよう。
このままでは$\displaystyle x^{\frac{1}{a}}$の正体はわからないが、ある工夫をすると、解決の糸口が見える。
こんな感じ
$\displaystyle \left(x^{\frac{1}{a}}\right)^a=x^{\frac{1}{a}\cdot a}=x$
$\displaystyle \left(x^{\frac{1}{a}}\right)^a=x$
つまり、
$\displaystyle x^{\frac{1}{a}}$を$a$回掛けるとxになるということがわかった。
しかし、また問題が起こった。2回掛けたらxになる数のことを$\sqrt{x}$と書くことは知っているが、
「3回掛けたらxになる数」や、「5回掛けたらaになる数」のことを何と書けばいいのだろうか。
じつは、これは簡単で、
「3回掛けたらxになる数」のことは$\sqrt[3]{x}$と書けばいいし、
「5回掛けたらaになる数」のことは$\sqrt[5]{a}$と書けばいい。
$\displaystyle x^{\frac{1}{a}}$とは、「$a$回掛けるとxになる数」なのだから
$\displaystyle x^{\frac{1}{a}}=\sqrt[a]{x}$
ということがわかった。
では、問題

問題
以下の数式を指数を使わない形に変形せよ
(1)$3^{0.2}$
(ヒント:指数部が小数の場合は、分数に直してみるといい)

解答
(1)$3^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}$

無線工学B アンテナの理論 公式集(第一級陸上無線技術士試験)

無線工学の基礎、無線工学A、と勉強をしてみたが、
無線工学Bの難易度が桁違いに難しい。
公式暗記しなければ手も足もでないので、
ここに書いておく。
問題形式て書いていくので、
もし需要があれば読者の勉強にも使っていただきたい。
一応、何度も見返しては見たが、
誤字等あっても責任は取れません。







OOを用いて書け、という問題は、必ずしもすべての要素を使うとは限りません。
紛らわしい用語を時折フェイクとして混ぜていますので、完璧に覚えてください。
電気工学系の界隈では、電流$I$と区別をはかるため、虚数単位を$j$と書く慣例が
あるようです。このサイトでもこれに従っています。





それでは以下



$Z_0$:空間の特性インピーダンス
$E$:電界
$H$:磁界
を用いて書け。また、その数値はいくらか。

$\displaystyle Z_0=\frac{E}{H}\fallingdotseq 120\pi$


$W$:電力束密度
$E$:電界
$H$:磁界
を用いて書け。また、$H$を使わずに書け。

$\displaystyle W=EH\fallingdotseq\frac{E^2}{Z_0}\fallingdotseq\frac{E^2}{120\pi}$


$E_I$:等方性アンテナの電界強度
$P$:放射電力
$d$:アンテナからの距離
を用いて書け。

$\displaystyle E_I = \frac{\sqrt{30P}}{d}$


$E_H$:微小ダイポールの電界強度
$P$:放射電力
$d$:アンテナからの距離
を用いて書け。

$\displaystyle E_H = \frac{\sqrt{45P}}{d}$


$E_D$:半波長ダイポールアンテナの電界強度
$P$:放射電力
$d$:アンテナからの距離
を用いて書け。

$\displaystyle E_D = \frac{7\sqrt{P}}{d}$


$D_H$:微小ダイポールの指向性係数
を書け。

$\displaystyle D_H=sin\theta$


$D_D$:半波長ダイポールアンテナの指向性係数
を書け。

$\displaystyle D_D=\frac{cos(\frac{\pi}{2}cos\theta)}{sin\theta}$


$G$:利得
$P_0$:基準アンテナの放射電力
$P$:試験アンテナの放射電力
を用いて書け。ただし、この時$P_0$は試験アンテナと等距離で電界強度が等しくなるように調節した値である。

$\displaystyle G = \frac{P_0}{P}$


$G$:利得
$E_0$:基準アンテナの電界強度
$E$:試験アンテナの電界強度
を用いて書け。ただし、この時$E_0$は試験アンテナと距離・放射電力が等しいときの値である。

$\displaystyle G = \left(\frac{E}{E_0}\right)^2$


$P_H$:微小ダイポールの放射電力
および
$R_H$:微小ダイポールの放射抵抗
$I$:アンテナを流れる電流
$l$:アンテナ長
$\lambda$:波長
を用いて書け。

$\displaystyle P_H = 80\pi\left(\frac{Il}{\lambda}\right)^2$

$\displaystyle R_H = 80\pi\left(\frac{l}{\lambda}\right)^2$


$l_e$:半波長ダイポールアンテナの実効長
を書け。

$\displaystyle l_e = \frac{\lambda}{\pi}$


$Z_0$:単線式線路の特性インピーダンス
および
$Z$:単線式線路のインピーダンス
$d$:導線の直径
$l$:導線の長さ
$\lambda$:波長
を用いて書け。

$\displaystyle Z_0 =138log_{10}\frac{2l}{d}$

$\displaystyle Z = -jZ_0cot\left(\frac{2\pi l}{\lambda}\right)$


$\delta$:短縮率
$Z$:アンテナのインピーダンス
$Z_0$アンテナの特性インピーダンス
を用いて書け。


$\displaystyle\delta = \frac{42.55}{\pi Z_0}$


$E$:任意アンテナの電界強度
$l$:アンテナ長
$l_e$:アンテナ実効長
$I$:アンテナを流れる電流
$d$:アンテナからの距離
$\lambda$:波長
を用いて書け。

$\displaystyle E = 60\frac{\pi Il_e}{\lambda d}$


$G_H$:微小ダイポールの絶対利得
を真数で求めよ。

$\displaystyle G_H = \frac{45}{30} = 1.5$


$G_D$:半波長ダイポールアンテナの絶対利得
を真数で求めよ。

$\displaystyle G_D = \frac{49}{30} \fallingdotseq 1.64$


$V$:誘起電力
$E$:電界強度
$l$:アンテナ長
$l_e$:アンテナ実効長
を用いて書け。

$\displaystyle V = El_e$


$P_m$:有効電力
$V$:誘起電力
$R$:受信アンテナの抵抗
を用いて書け。また、それを
$E$:電界強度
$l$:アンテナ長
$l_e$:アンテナ実効長
を用いて書き換えよ。

$\displaystyle P_m = \left(\frac{V}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{R}=\frac{(El_e)^2}{4R}$


$A_e$:実効面積
$W$:電力束密度
$P_m$:有効電力
を用いて書け。

$\displaystyle A_e = \frac{P_m}{W}$


$A_I$:等方性アンテナの実効面積
はいくらか。

$\displaystyle A_I = \frac{\lambda ^2}{4\pi}$


$A_e$:実効面積
$G$:絶対利得
$A_I$:等方性アンテナの実効面積
を用いて書け。また
$\lambda$:波長
を用いて書き直せ。

$\displaystyle A_e = A_IG = \frac{\lambda ^2}{4\pi}G$


$\eta$:開口効率
$A_e$実効面積
$A$:アンテナ面積
を用いて書け。

$\displaystyle\eta = \frac{A_e}{A}$


$W_R$:受信点の電力束密度
及び
$P_R$:受信電力
以下から必要なものを用いて書け。
$d$:送受信アンテナ間の距離
$G_T$:送信アンテナの絶対利得
$P_T$:送信アンテナの放射電力
$G_R$:受信アンテナの絶対利得
$A_R$:受信アンテナの実効面積
$\lambda$:波長

$\displaystyle W_R = \frac{G_TP_T}{4\pi d^2}$

$\displaystyle P_R = W_RA_R = \left(\frac{\lambda}{4\pi d}\right)^2G_TG_RP_T$


$\Gamma_0$:自由空間基本伝送損
を書け。

$\displaystyle\Gamma_0 = \left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right)^2$


前問の$P_R$を$\Gamma_0$を用いて書き直せ


$\displaystyle P_R = \frac{G_TG_RP_T}{\Gamma_0}$

Σとか言われてもビビらずに計算するために その4

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$とか言われてもビビらず計算するために その4
最終回。
前回までで、大抵どんな(三次までの)単項式(足し算や引き算の含まれない式)の$\Sigma$なら計算できるようになった。
今回は最後。右側に足し算の含まれる式でも計算できるようになろう。
具体的には、こんな感じの式↓
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+2k$$
みたいなのを計算できるようになろう。
話を簡単にするため、イメージしやすいように、ストッパーが5の場合を計算してみよう。
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k^2+2k&=&(1^2+2\cdot1)+(2^2+2\cdot2)+(3^2+2\cdot3)+(4^2+2\cdot4)+(5^2+2\cdot5)\\&=&1^2+2\cdot1+2^2+2\cdot2+3^2+2\cdot3+4^2+2\cdot4+5^2+2\cdot5\\&=&1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+2\cdot1+2\cdot2+2\cdot3+2\cdot4+2\cdot5\\&=&(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)+(2\cdot1+2\cdot2+2\cdot3+2\cdot4+2\cdot5)\\&=&\sum_{k=1}^{5}k^2+\sum_{k=1}^{5}2k\end{eqnarray}$$
なので、
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k^2+2k=\sum_{k=1}^{5}k^2+\sum_{k=1}^{5}2k$$
ということがわかった。
おなじように、こんどはストッパーを未定な状態、$n$として変形してみよう。
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+2k&=&(1^2+2\cdot1)+(2^2+2\cdot2)+・・・+\{(n-1)^2+2(n-1)\}+(n^2+2n)\\&=&\{1^2+2^2+・・・+(n-1)^2+n^2\}+\{2\cdot1+2\cdot2+・・・+2(n-1)+2n\}\\&=&\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}2k\end{eqnarray}$$
あとは、
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}2k&=&\sum_{k=1}^{n}k^2+2\cdot\sum_{k=1}^{n}k\\&=&\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+2\cdot\frac{1}{2}n(n+1)\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6\cdot n(n+1)}{6}\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)+6\cdot n(n+1)}{6}\\&=&\frac{2n^3+3n^2+n+6n^2+6n}{6}\\&=&\frac{2n^3+9n^2+7n}{6}\end{eqnarray}$$
なので、
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+2k=\frac{2n^3+9n^2+7n}{6}$$
という計算ができた。
もっと一般的(いつでも使えるような)な話をすると、
なにか好きな式を$f(k)$と置いて、もうひとつ好きな式を$g(k)$と置く。そうしてから
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(k)+g(k)$$
を計算してみよう。
(さっき計算していた上の例だと、$f(k)=k^2$で、$g(k)=2k$だったわけだね。)
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(k)+g(k)&=&(f(1)+g(1))+(f(2)+g(2))+・・・+(f(n-1)+g(n-1))+(f(n)+g(n))\\&=&(f(1)+f(2)+・・・+f(n-1)+f(n))+(g(1)+g(2)+・・・+g(n-1)+g(n))\\&=&\sum_{k=1}^{n}f(k)+\sum_{k=1}^{n}g(k)\end{eqnarray}$$
ということ。つまり、$\Sigma$は分配法則のようにして計算することができるということ。
それでは、いままでの総合問題を1問といて終わり。

問題

$(1)\displaystyle\sum_{a=b}^{c}da^3+ea^2+fa+g$

はい、終わり。

解答例
$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=b}^{c}da^3+ea^2+fa+g&=&\left(\sum_{a=1}^{c}da^3+ea^2+fa+g\right)-\left(\sum_{a=1}^{b-1}da^3+ea^2+fa+g\right)\\&=&\left(\sum_{a=1}^{c}da^3+\sum_{a=1}^{c}ea^2+\sum_{a=1}^{c}fa+\sum_{a=1}^{c}g\right)-\left(\sum_{a=1}^{b-1}da^3+\sum_{a=1}^{b-1}ea^2+\sum_{a=1}^{b-1}fa+\sum_{a=1}^{b-1}g\right)\end{eqnarray}$
左から順に計算していこう
$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{c}da^3&=&d\cdot\sum_{a=1}^{c}a^3\\&=&d\cdot\left\{\frac{1}{2}c(c+1)\right\}^2\\&=&d\cdot\frac{c^4+2c^3+c^2}{4}\\&=&\frac{dc^4+2dc^3+dc^2}{4}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{c}ea^2&=&e\cdot\sum_{a=1}^{c}a^2\\&=&e\cdot\frac{1}{6}c(c+1)(2c+1)\\&=&e\cdot\frac{2c^3+3c^2+c}{6}\\&=&\frac{2ec^3+3ec^2+ec}{6}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{c}fa&=&f\cdot\sum_{a=1}^{c}a\\&=&f\cdot\frac{1}{2}c(c+1)\\&=&f\cdot\frac{c^2+c}{2}\\&=&\frac{fc^2+fc}{2}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{c}g&=&g\cdot\sum_{a=1}^{c}1\\&=&gc\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{b-1}da^3&=&d\cdot\sum_{a=1}^{b-1}a^3\\&=&d\cdot\left\{\frac{1}{2}(b-1)b\right\}^2\\&=&d\cdot\frac{b^4-2b^3+b^2}{4}\\&=&\frac{db^4-2db^3+db^2}{4}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{b-1}ea^2&=&e\cdot\sum_{a=1}^{b-1}a^2\\&=&e\cdot\frac{1}{6}(b-1)b(2b-1)\\&=&e\cdot\frac{2b^3-3b^2+b^2}{6}\\&=&\frac{2eb^3-3eb^2+eb}{6}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{b-1}fa&=&f\cdot\sum_{a=1}^{b-1}a\\&=&f\cdot\frac{1}{2}(b-1)b\\&=&f\cdot\frac{b^2-b}{2}\\&=&\frac{fb^2-fb}{2}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{b-1}g&=&g\cdot\sum_{a=1}^{b-1}1\\&=&g\cdot (b-1)\\&=&(gb-g)\end{eqnarray}$

$\displaystyle\sum_{a=1}^{c}da^3+\sum_{a=1}^{c}ea^2+\sum_{a=1}^{c}fa+\sum_{a=1}^{c}g$
$\displaystyle=\frac{dc^4+2dc^3+dc^2}{4}+\frac{2ec^3+3ec^2+ec}{6}+\frac{fc^2+fc}{2}+gc$
$\displaystyle=\frac{3dc^4+6dc^3+3dc^2}{12}+\frac{4ec^3+6ec^2+2ec}{12}+\frac{6fc^2+6fc}{12}+\frac{12gc}{12}$
$\displaystyle=\frac{3dc^4+(6d+4e)c^3+(3d+6e+6f)c^2+(2e+6f+12g)c}{12}$
$\displaystyle=\frac{d}{4}c^4+\frac{3d+2e}{6}c^3+\frac{d+2e+2f}{4}c^2+\frac{e+3f+6g}{6}c$

$\displaystyle\sum_{a=1}^{b-1}da^3+\sum_{a=1}^{b-1}ea^2+\sum_{a=1}^{b-1}fa+\sum_{a=1}^{b-1}g$
$\displaystyle=\frac{db^4-2db^3+db^2}{4}+\frac{2eb^3-3eb^2+eb}{6}+\frac{fb^2-fb}{2}+(gb-g)$
$\displaystyle=\frac{3db^4-6db^3+3db^2}{12}+\frac{4eb^3-6eb^2+2eb}{12}+\frac{6fb^2-6fb}{12}+\frac{12gb-12g}{12}$
$\displaystyle=\frac{3db^4+(-6d+4e)b^3+(3d-6e+6f)b^2+(2e-6f+12g)b-12g}{12}$
$\displaystyle=\frac{d}{4}b^4+\frac{-3d+2e}{6}b^3+\frac{d-2e+2f}{4}b^2+\frac{e-3f+6g}{6}b-g$

$\displaystyle\left(\sum_{a=1}^{c}da^3+\sum_{a=1}^{c}ea^2+\sum_{a=1}^{c}fa+\sum_{a=1}^{c}g\right)-\left(\sum_{a=1}^{b-1}da^3+\sum_{a=1}^{b-1}ea^2+\sum_{a=1}^{b-1}fa+\sum_{a=1}^{b-1}g\right)$
$=\left(\frac{d}{4}c^4+\frac{3d+2e}{6}c^3+\frac{d+2e+2f}{4}c^2+\frac{e+3f+6g}{6}c\right)-\left(\frac{d}{4}b^4+\frac{-3d+2e}{6}b^3+\frac{d-2e+2f}{4}b^2+\frac{e-3f+6g}{6}b-g\right)$
$=\frac{d}{4}c^4+\frac{3d+2e}{6}c^3+\frac{d+2e+2f}{4}c^2+\frac{e+3f+6g}{6}c-\frac{d}{4}b^4-\frac{-3d+2e}{6}b^3-\frac{d-2e+2f}{4}b^2-\frac{e-3f+6g}{6}b+g$
以上!
プロフィール

すぺくとる

Author:すぺくとる
ウディタ・Unity・UE4などなど。
MUGEN関連製作物等々は下の方の”星屑の倉庫”に置いてあります。好きに持って帰っていいですよ。
改変転載は要相談ということで。

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