Σとか言われてもビビらずに計算するために その4

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$とか言われてもビビらず計算するために その4
最終回。
前回までで、大抵どんな(三次までの)単項式(足し算や引き算の含まれない式)の$\Sigma$なら計算できるようになった。
今回は最後。右側に足し算の含まれる式でも計算できるようになろう。
具体的には、こんな感じの式↓
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+2k$$
みたいなのを計算できるようになろう。
話を簡単にするため、イメージしやすいように、ストッパーが5の場合を計算してみよう。
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k^2+2k&=&(1^2+2\cdot1)+(2^2+2\cdot2)+(3^2+2\cdot3)+(4^2+2\cdot4)+(5^2+2\cdot5)\\&=&1^2+2\cdot1+2^2+2\cdot2+3^2+2\cdot3+4^2+2\cdot4+5^2+2\cdot5\\&=&1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+2\cdot1+2\cdot2+2\cdot3+2\cdot4+2\cdot5\\&=&(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)+(2\cdot1+2\cdot2+2\cdot3+2\cdot4+2\cdot5)\\&=&\sum_{k=1}^{5}k^2+\sum_{k=1}^{5}2k\end{eqnarray}$$
なので、
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k^2+2k=\sum_{k=1}^{5}k^2+\sum_{k=1}^{5}2k$$
ということがわかった。
おなじように、こんどはストッパーを未定な状態、$n$として変形してみよう。
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+2k&=&(1^2+2\cdot1)+(2^2+2\cdot2)+・・・+\{(n-1)^2+2(n-1)\}+(n^2+2n)\\&=&\{1^2+2^2+・・・+(n-1)^2+n^2\}+\{2\cdot1+2\cdot2+・・・+2(n-1)+2n\}\\&=&\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}2k\end{eqnarray}$$
あとは、
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}2k&=&\sum_{k=1}^{n}k^2+2\cdot\sum_{k=1}^{n}k\\&=&\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+2\cdot\frac{1}{2}n(n+1)\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6\cdot n(n+1)}{6}\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)+6\cdot n(n+1)}{6}\\&=&\frac{2n^3+3n^2+n+6n^2+6n}{6}\\&=&\frac{2n^3+9n^2+7n}{6}\end{eqnarray}$$
なので、
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+2k=\frac{2n^3+9n^2+7n}{6}$$
という計算ができた。
もっと一般的(いつでも使えるような)な話をすると、
なにか好きな式を$f(k)$と置いて、もうひとつ好きな式を$g(k)$と置く。そうしてから
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(k)+g(k)$$
を計算してみよう。
(さっき計算していた上の例だと、$f(k)=k^2$で、$g(k)=2k$だったわけだね。)
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(k)+g(k)&=&(f(1)+g(1))+(f(2)+g(2))+・・・+(f(n-1)+g(n-1))+(f(n)+g(n))\\&=&(f(1)+f(2)+・・・+f(n-1)+f(n))+(g(1)+g(2)+・・・+g(n-1)+g(n))\\&=&\sum_{k=1}^{n}f(k)+\sum_{k=1}^{n}g(k)\end{eqnarray}$$
ということ。つまり、$\Sigma$は分配法則のようにして計算することができるということ。
それでは、いままでの総合問題を1問といて終わり。

問題

$(1)\displaystyle\sum_{a=b}^{c}da^3+ea^2+fa+g$

はい、終わり。

解答例
$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=b}^{c}da^3+ea^2+fa+g&=&\left(\sum_{a=1}^{c}da^3+ea^2+fa+g\right)-\left(\sum_{a=1}^{b-1}da^3+ea^2+fa+g\right)\\&=&\left(\sum_{a=1}^{c}da^3+\sum_{a=1}^{c}ea^2+\sum_{a=1}^{c}fa+\sum_{a=1}^{c}g\right)-\left(\sum_{a=1}^{b-1}da^3+\sum_{a=1}^{b-1}ea^2+\sum_{a=1}^{b-1}fa+\sum_{a=1}^{b-1}g\right)\end{eqnarray}$
左から順に計算していこう
$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{c}da^3&=&d\cdot\sum_{a=1}^{c}a^3\\&=&d\cdot\left\{\frac{1}{2}c(c+1)\right\}^2\\&=&d\cdot\frac{c^4+2c^3+c^2}{4}\\&=&\frac{dc^4+2dc^3+dc^2}{4}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{c}ea^2&=&e\cdot\sum_{a=1}^{c}a^2\\&=&e\cdot\frac{1}{6}c(c+1)(2c+1)\\&=&e\cdot\frac{2c^3+3c^2+c}{6}\\&=&\frac{2ec^3+3ec^2+ec}{6}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{c}fa&=&f\cdot\sum_{a=1}^{c}a\\&=&f\cdot\frac{1}{2}c(c+1)\\&=&f\cdot\frac{c^2+c}{2}\\&=&\frac{fc^2+fc}{2}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{c}g&=&g\cdot\sum_{a=1}^{c}1\\&=&gc\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{b-1}da^3&=&d\cdot\sum_{a=1}^{b-1}a^3\\&=&d\cdot\left\{\frac{1}{2}(b-1)b\right\}^2\\&=&d\cdot\frac{b^4-2b^3+b^2}{4}\\&=&\frac{db^4-2db^3+db^2}{4}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{b-1}ea^2&=&e\cdot\sum_{a=1}^{b-1}a^2\\&=&e\cdot\frac{1}{6}(b-1)b(2b-1)\\&=&e\cdot\frac{2b^3-3b^2+b^2}{6}\\&=&\frac{2eb^3-3eb^2+eb}{6}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{b-1}fa&=&f\cdot\sum_{a=1}^{b-1}a\\&=&f\cdot\frac{1}{2}(b-1)b\\&=&f\cdot\frac{b^2-b}{2}\\&=&\frac{fb^2-fb}{2}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{a=1}^{b-1}g&=&g\cdot\sum_{a=1}^{b-1}1\\&=&g\cdot (b-1)\\&=&(gb-g)\end{eqnarray}$

$\displaystyle\sum_{a=1}^{c}da^3+\sum_{a=1}^{c}ea^2+\sum_{a=1}^{c}fa+\sum_{a=1}^{c}g$
$\displaystyle=\frac{dc^4+2dc^3+dc^2}{4}+\frac{2ec^3+3ec^2+ec}{6}+\frac{fc^2+fc}{2}+gc$
$\displaystyle=\frac{3dc^4+6dc^3+3dc^2}{12}+\frac{4ec^3+6ec^2+2ec}{12}+\frac{6fc^2+6fc}{12}+\frac{12gc}{12}$
$\displaystyle=\frac{3dc^4+(6d+4e)c^3+(3d+6e+6f)c^2+(2e+6f+12g)c}{12}$
$\displaystyle=\frac{d}{4}c^4+\frac{3d+2e}{6}c^3+\frac{d+2e+2f}{4}c^2+\frac{e+3f+6g}{6}c$

$\displaystyle\sum_{a=1}^{b-1}da^3+\sum_{a=1}^{b-1}ea^2+\sum_{a=1}^{b-1}fa+\sum_{a=1}^{b-1}g$
$\displaystyle=\frac{db^4-2db^3+db^2}{4}+\frac{2eb^3-3eb^2+eb}{6}+\frac{fb^2-fb}{2}+(gb-g)$
$\displaystyle=\frac{3db^4-6db^3+3db^2}{12}+\frac{4eb^3-6eb^2+2eb}{12}+\frac{6fb^2-6fb}{12}+\frac{12gb-12g}{12}$
$\displaystyle=\frac{3db^4+(-6d+4e)b^3+(3d-6e+6f)b^2+(2e-6f+12g)b-12g}{12}$
$\displaystyle=\frac{d}{4}b^4+\frac{-3d+2e}{6}b^3+\frac{d-2e+2f}{4}b^2+\frac{e-3f+6g}{6}b-g$

$\displaystyle\left(\sum_{a=1}^{c}da^3+\sum_{a=1}^{c}ea^2+\sum_{a=1}^{c}fa+\sum_{a=1}^{c}g\right)-\left(\sum_{a=1}^{b-1}da^3+\sum_{a=1}^{b-1}ea^2+\sum_{a=1}^{b-1}fa+\sum_{a=1}^{b-1}g\right)$
$=\left(\frac{d}{4}c^4+\frac{3d+2e}{6}c^3+\frac{d+2e+2f}{4}c^2+\frac{e+3f+6g}{6}c\right)-\left(\frac{d}{4}b^4+\frac{-3d+2e}{6}b^3+\frac{d-2e+2f}{4}b^2+\frac{e-3f+6g}{6}b-g\right)$
$=\frac{d}{4}c^4+\frac{3d+2e}{6}c^3+\frac{d+2e+2f}{4}c^2+\frac{e+3f+6g}{6}c-\frac{d}{4}b^4-\frac{-3d+2e}{6}b^3-\frac{d-2e+2f}{4}b^2-\frac{e-3f+6g}{6}b+g$
以上!
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Σとか言われてもビビらずに計算するために その3

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$とか言われてもビビらずに計算するために その3
前回までで、$\Sigma$の計算をちょっとだけできるようになった。今回は、あと3つ便利な公式を覚えよう。
前回覚えた2つの公式はこれ
$(1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1=n$
$(2)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$
あと3つ、覚えておこう
$(3)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$(4)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$
$(5)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a^k=\frac{a(a^n-1)}{a-1}\left(=\frac{a(1-a^n)}{1-a}\right)$
(1),(2)は前回説明したが、(3)と(4)がなぜそうなるのかが知りたいならここを見るといい。
(5)については、少しだけ説明してみよう。ここで、一つ大事な公式がある。
$$a+ar+ar^2+ar^3+・・・・・・+ar^{n-2}+ar^{n-1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\left(=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\right)$$
具体的には、
$\displaystyle1+2+4+8+16+32+64$
$\displaystyle=1+1\cdot2+1\cdot2^2+1\cdot2^3+1\cdot2^4+1\cdot2^5+1\cdot2^6$
$\displaystyle=\frac{1(2^7-1)}{2-1}=\frac{127}{1}=127$
だったり
$\displaystyle20+10+5+\frac{5}{2}+\frac{5}{4}+\frac{5}{8}+\frac{5}{16}$
$\displaystyle=20+20\cdot\frac{1}{2}+20\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+20\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+20\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4+20\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5+20\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6$
$\displaystyle=\frac{20\left\{1-(\frac{1}{2})^7\right\}}{1-\frac{1}{2}}\left(=\frac{20\left(1-\frac{1}{2^7}\right)}{\frac{1}{2}}=20\cdot\frac{2^7-1}{2^7}\cdot2=5\cdot\frac{128-1}{2^4}\right)$
$\displaystyle=\frac{635}{16}$
だったりする。
もし、これを読んでいる君が「公比数列」というものを知っているならば、こう言い換えることもできる。
初項$a$,公比$r$,項数$n$の公比数列の和は$\displaystyle\frac{a(r^n-1)}{r-1}\left(=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\right)$である。
ここで、(5)の式を見てみよう。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a^k$
$\displaystyle=a^1+a^2+a^3+・・・・・・+a^{n-2}+a^{n-1}+a^n$
$\displaystyle=a+a\cdot a+a\cdot a^2+・・・・・・+a\cdot a^{n-3}+a\cdot a^{n-2}+a\cdot a^{n-1}$
$\displaystyle=\frac{a(a^n-1)}{a-1}\left(=\frac{a(1-a^n)}{1-a}\right)$
もし「公比数列」を知っているならば、こう言い換えることもできる。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a^k$とは、
初項$a$,公比$a$,項数$n$の公比数列の和なのだから、$\displaystyle\frac{a(a^n-1)}{a-1}\left(=\frac{a(1-a^n)}{1-a}\right)$である。
まあ、好きな方で覚えて欲しい。
これで、代入される文字が三次までなら$\Sigma$の計算ができるようになった。
あと、もう一つだけ便利な考え方を書いておく
今までは$\Sigma$の下に書いてある、「スタート地点」は常に1だった。ではもしここに1以外の数値が指定されたときはどうしよう。具体的には
$\displaystyle\sum_{k=5}^{n}k$みたいなのをどう計算するか、ということ。
これは意外と簡単で、$\displaystyle\sum_{k=5}^{n}k$ダサい方法で書くと、
$$5+6+7+・・・・・・+(n-2)+(n-1)+n$$
だけど、これって
$$\{1+2+3+・・・・・・+(n-2)+(n-1)+n\}-(1+2+3+4)$$
ということは、
$\displaystyle\sum_{k=5}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{4}k$
$\displaystyle=\frac{1}{2}n(n+1)-\frac{1}{2}4(4+1)$
$\displaystyle=\frac{n^2+n}{2}-\frac{20}{2}$
$\displaystyle=\frac{n^2+n-20}{2}$
ということ。
つまり何かしらの式$f(k)$のように表すと、
$$\displaystyle\sum_{k=x}^{n}f(k)=\sum_{k=1}^{n}f(k)-\sum_{k=1}^{x-1}f(k)$$
ということだね。
じゃあ問題を解いて終わりにしよう。
$\displaystyle(1)\sum_{a=1}^{b^2}ac^2$
$\displaystyle(2)\sum_{n=1}^{2m+3}kn^2$
$\displaystyle(3)\sum_{k=100}^{n^2}\frac{3k}{2}$
$\displaystyle(4)\sum_{x=10}^{y}wz+z$
$\displaystyle(5)\sum_{k=abc}^{de}5k^3$
$\displaystyle(6)\sum_{x=y}^{z}aw^x$

解答例

$\begin{eqnarray}\displaystyle(1)\sum_{a=1}^{b^2}ac^2 &=& c^2\sum_{a=1}^{b^2}a\\&=&c^2\cdot\frac{1}{2}b^2(b^2+1)\\&=& \frac{b^4c^2+b^2c^2}{2}\end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray}\displaystyle(2)\sum_{n=1}^{2m+3}kn^2 &=& k\cdot\sum_{n=1}^{2m+3}n^2 \\&=& k\cdot\frac{1}{6}(2m+3)\{(2m+3)+1\}\{2(2m+3)+1\}\\&=& k\cdot\frac{1}{6}(2m+3)(2m+4)(4m+7)\\ &=& \frac{k(2m+3)(2m+4)(4m+8)}{6}\\&=&\frac{16km^3+84km^2+146km+84k}{6}\\&=&\frac{8km^3+42km^2+73km+42k}{3}\end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray}\displaystyle(3)\sum_{k=100}^{n^2}\frac{3k}{2}&=&\frac{3}{2}\cdot\sum_{k=100}^{n^2}k\\&=&\frac{3}{2}\left(\sum_{k=1}^{n^2}k-\sum_{k=1}^{99}k\right)\\&=&\frac{3}{2}\left\{\frac{1}{2}n^2(n^2+1)-\frac{1}{2}99(99+1)\right\}\\&=&\frac{3}{2}\left(\frac{n^4+n^2}{2}-\frac{9900}{2}\right)\\&=&\frac{3}{2}\cdot\frac{n^4+n^2-9900}{2}\\&=&\frac{3n^4+3n^2-29700}{4}\end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray}\displaystyle(4)\sum_{x=10}^{y}wz+z&=&\sum_{x=10}^{y}(w+1)z\\&=&(w+1)\sum_{x=10}^{y}z\\&=&(w+1)\left(\sum_{x=1}^{y}z-\sum_{x=1}^{9}z\right)\\&=&(w+1)\left\{\frac{1}{2}y(y+1)-\frac{1}{2}9(10)\right\}\\&=&(w+1)\left(\frac{y^2+y}{2}-\frac{90}{2}\right)\\&=&(w+1)\cdot\frac{y^2+y-90}{2}\\&=&\frac{(w+1)y^2+(w+1)y-(w+1)90}{2}\\&=&\frac{(w+1)y^2+(w+1)y-90w-90}{2}\end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray}\displaystyle(5)\sum_{k=abc}^{de}5k^3&=&5\cdot\sum_{k=abc}^{de}k^3\\&=&5\cdot\left(\sum_{k=1}^{de}k^3-\sum_{k=1}^{abc-1}k^3\right)\\&=&5\cdot\left[\left\{\frac{1}{2}de(de+1)\right\}^2-\left\{\frac{1}{2}(abc-1)((abc-1)+1)\right\}^2\right]\\&=&5\cdot\left[\left\{\frac{1}{2}de(de+1)\right\}^2-\left\{\frac{1}{2}(abc-1)abc\right\}^2\right]\\&=&5\cdot\left\{\left(\frac{d^2e^2+de}{2}\right)^2-\left(\frac{a^2b^2c^2-abc}{2}\right)^2\right\}\\&=&5\cdot\left(\frac{d^4e^4+2d^3e^3+d^2e^2}{4}-\frac{a^4b^4c^4-2a^3b^3c^3+a^2b^2c^2}{4}\right)\\&=&5\cdot\left\{\frac{d^4e^4+2d^3e^3+d^2e^2-(a^4b^4c^4-2a^3b^3c^3+a^2b^2c^2)}{4}\right\}\\&=&5\cdot\frac{-a^4b^4c^4+d^4e^4+2a^3b^3c^3+2d^3e^3-a^2b^2c^2+d^2e^2}{4}\\&=&\frac{-5a^4b^4c^4+5d^4e^4+10a^3b^3c^3+10d^3e^3-5a^2b^2c^2+5d^2e^2}{4}\end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray}\displaystyle(6)\sum_{x=y}^{z}aw^x&=&a\cdot\sum_{x=y}^{z}w^x\\&=&a\left(\sum_{x=1}^{z}w^x-\sum_{x=1}^{y-1}w^x\right)\\&=&a\left\{\frac {w(w^z-1)}{w-1}-\frac {w(w^{y-1}-1)}{w-1}\right\}\\&=&a\left(\frac {w^{z+1}-w}{w-1}-\frac {w^y-w}{w-1}\right)\\&=&a\left\{\frac {w^{z+1}-w-(w^y-w)}{w-1}\right\}\\&=&a\cdot\frac{w^{z+1}-w^y}{w-1}\\&=&\frac{aw^{z+1}-aw^y}{w-1}\end{eqnarray}$
乙!

Σとか言われてもビビらずに計算するために その2

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$とか言われてもビビらずに計算するために その2
さて前回、$\Sigma$とはどのように計算すればいいのかを理解できた。ただし、正直な話、絶対に計算したくないめんどくささだということも理解できた。
たとえば
$$\displaystyle\sum_{d=1}^{5}d$$
くらいまでならまだ計算してやってもいい、かもしれないが、もしこれが
$$\displaystyle\sum_{e=1}^{100}e$$
となった瞬間、おそらく
シグマやめょ・・・
となってしまう。
が、それも前回までの話今回からは楽勝で計算できる
では、ここで唐突にひとつ、暗記するべき超有能な公式を一つ紹介する↓
$$1+2+3+・・・・・・+(x-2)+(x-1)+x=\frac{(1+x)\cdot x}{2}$$
どういうことかというと、
$$1+2+3+・・・・・・+8+9+10=\frac{(1+10)\cdot 10}{2}=55$$
であるとか、
$$1+2+3+・・・・・・+98+99+100=\frac{(1+100)\cdot 100}{2}=5050$$
であることを意味する。100回足し算するのと、1つの分数を計算するの、どっちが楽?
とってもステキな公式だよね。覚えよう
そうすると、とってもイイことが起こる。どんなことかというと、こんなことだ↓
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k=1+2+・・・+99+100=\frac{(1+100)\cdot 100}{2}=5050$$
これがわかればもう楽勝。
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{1999}k=1+2+・・・+1998+1999=\frac{(1+1999)\cdot 1999}{2}=1999000$$
まで筆算することなく計算できた。
では、どこまで足すか分かっていないときはどうだろう。何個足せばいいか不明なとき、数学ではその不明な数値をxとかnで表すことが多い。今回もそれをマネしてストッパーは$n$としよう。
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=1+2+・・・+(n-1)+n=\frac{(1+n)\cdot n}{2}$$
となった。
これを教科書では
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(1+n)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(1)$$
と表しているのだ。
さてここで、一つ$\Sigma$の問題を一緒に解いていこう。今回計算するのはこれ↓
$$\displaystyle\sum_{a=1}^{b}ac$$
今回代入するのはa。なので、cは単なる定数だ。せっかくなので上記(1)の公式を使って解いて見たいところだが、定数cが邪魔で使えない。しかたないので理解を深めるためにナンセンスな方法で書きあらわす。
$$\displaystyle\sum_{a=1}^{b}ac=c+2c+3c+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+(b-2)c+(b-1)c+bc$$
あれ、これって全ての項にcが含まれてるから、cを共通因数としてくくり出せるよね。なので
$$\displaystyle\sum_{a=1}^{b}ac=c(1+2+3+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+(b-2)+(b-1)+b)$$
ということはこれは、
$$\displaystyle\sum_{a=1}^{b}ac=c\cdot \sum_{a=1}^{b}a$$
ということを表している。つまり、定数は$\Sigma$の前に出すことができるということ。このまま計算を続けると、公式(1)を用いて
$$\displaystyle\sum_{a=1}^{b}ac=c\cdot \sum_{a=1}^{b}a=c\cdot \frac{1}{2}b(b+1)$$
という答えが出せるようになったわけだ。
ちなみに。ここで「定数は前に出せる」という$\Sigma$の性質を使うと、もう1つ便利な事実がわかる
$$\displaystyle\sum_{d=1}^{e}f$$
を計算しよう。このとき$c=c\cdot 1$であることを使えば上の式はこう変形できる。
$$\displaystyle\sum_{d=1}^{e}f\cdot1=f\cdot \sum_{d=1}^{e}1$$
ここで、
$$\displaystyle\sum_{d=1}^{e}1$$
の計算に戸惑うかもしれないが、これは単に「1をe回足す」ことなので、あきらかに計算結果は$1\cdot e$であるから
$$\displaystyle\sum_{d=1}^{e}f=f\cdot \sum_{d=1}^{e}1=f \cdot e=ef$$
である。
ここまで、少し問題を解いて今回は終わりにしよう。また次回。
$\displaystyle(1) \sum_{k=1}^{39}5k$
$\displaystyle(2) \sum_{k=1}^{x}10k$
$\displaystyle(3) \sum_{k=1}^{3z}3k$
$\displaystyle(4) \sum_{k=1}^{n+2}ak$
$\displaystyle(5) \sum_{k=1}^{2n+1}az$

解答例

$\displaystyle(1) \sum_{k=1}^{39}5k$
$\displaystyle =5\cdot\sum_{k=1}^{39}k$
ここで公式(1)を使い
$\displaystyle =5\cdot\frac{1}{2}39(1+39)$
$\displaystyle =5\cdot 20\cdot 39$
$\displaystyle =3900$

$\displaystyle(2) \sum_{k=1}^{x}10k$
$\displaystyle =10\cdot\sum_{k=1}^{x}k$
ここで公式(1)を使い
$\displaystyle =10\cdot\frac{1}{2}x(x+1)$
$\displaystyle =5x(x+1)$
$\displaystyle =5x^2+5x$

$\displaystyle(3) \sum_{k=1}^{3z}3k$
$\displaystyle = 3\cdot\sum_{k=1}^{3z}k$
ここで公式(1)を使い
$\displaystyle = 3\cdot\frac{1}{2}3z(3z+1)$
$\displaystyle = \frac{9z}{2}(3z+1)$
$\displaystyle = \frac{27z^2+9z}{2}$

$\displaystyle(4) \sum_{k=1}^{n+2}ak$
$\Sigma$の下に書いている情報を元に、kが代入される文字で、aは単なる定数であることを判別する。そうすると
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n+2}ak$
$\displaystyle = a\cdot\sum_{k=1}^{n+2}k$
ここで公式(1)を使い
$\displaystyle = a\cdot\frac{1}{2}(n+2)\{(n+2)+1\}$
$\displaystyle = \frac{a}{2}(n+2)(n+3)$
$\displaystyle = \frac{an^2+5an+6a}{2}$

$\displaystyle(5) \sum_{k=1}^{2n+1}az$
$\Sigma$の下に書いている情報を元に、kが代入される文字で、aとzは単なる定数であることを判別する。そうすると
$\displaystyle\sum_{k=1}^{2n+1}az$
$\displaystyle =az\cdot\sum_{k=1}^{2n+1}1$
$\displaystyle =az\cdot(2n+1)$
$\displaystyle =2anz+az$
以上!

Σとか言われてもビビらずに計算するために その1

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k$とか言われてもビビらずに計算するために
そもそも$\Sigma$とは何かについて。$\Sigma$付きの式を計算する上での約束ごとを確認しよう。
まずは$\Sigma$のコンセプトから説明していこう。
小学校や中学校の間、長い式、たとえば
$$1+2+3+4+5+・・・・・・+98+99+100=$$
のような式を書いてきたと思う。あるいは
$$2+4+6+8+10+・・・・・・+98+100=$$
のような式。
はっきり言って、ちょっとダサいし、子供っぽいし、なにより「・・・・・・」の中身が暗黙の了解で決定されている。これは数学的には嬉しくない。同じ式を見た時、100人中100人が同じ意味に捉えられなければいけないからだ。そのために$\Sigma$を使う。
というわけで簡単な$\Sigma$を使った式を上記のような直感的だけどちょっとダサい書き方に直して理解していこう。まずはこれ↓
$$\displaystyle\sum_{a=1}^5 a$$
わかるかな?$\Sigma$の下に$a=1$と書いてある
これはどういう意味かというと、最初にaに代入する数字が1ですよ、という意味だ。
どの式のaに代入するかというと、$\Sigma$の右側に書いてある式だ。つまり今回は、$a$という式に$a=1$を代入する。
すると答えはもちろん1だ。
$\Sigma$は、$\Sigma$の下側に書いてある代入値をスタートにして、どんどん1増やして右側の式に代入していく。今回のスタートは$a=1$だったので、次は1増やした$a=2$を代入する。
最初は$a=1$、次に$a=2$、その次に$a=3$という風に代入していく。しかし、このままではaに代入する数値が際限なく増えてしまうので、どこかでストップするようにしなければならない。それが$\Sigma$の上に書いてある数値だ。
つまり、今回は$a=5$まで代入したら、それが終了の合図。
そして、代入してでてきた計算結果を全部足し算した合計が、$\Sigma$を計算した時の答え、という決まりになっている。今回の場合、
$$\displaystyle\sum_{a=1}^5 a=1+2+3+4+5=15$$
というのが答えだ。何個か例を見せていく。つぎはこれ↓
$$\displaystyle\sum_{b=2}^4 2b$$
$\Sigma$の下を見てみると、$b=2$と書いてあるので、$\Sigma$の右側の式($2b$)に2を代入するのが今回のスタート。
2を代入すると、$2\cdot2=4$。次に
3を代入すると、$2\cdot3=6$。次に
4を代入すると、$2\cdot4=8$。
ここで、$\Sigma$の上を見てみると、4とかいてあるので、4を代入したらストップ。あとは合計値を出せばよい。
$$\displaystyle\sum_{b=2}^4 2b=2\cdot2+2\cdot3+2\cdot4=4+6+8=18$$
簡単だね。次。
$$\displaystyle\sum_{c=1}^{10} ac+3$$
さあ解いていこう。$\Sigma$の下に$c=1$と書いてあるので、$\Sigma$の右の式($ac+3$)に$c=1$を代入するところがスタート。あくまでaではなくcに代入するところに気をつけよう。
1を代入すると、$a\cdot1+3=a+3$
2を代入すると、$a\cdot2+3=2a+3$
3を代入すると、$a\cdot3+3=3a+3$
4を代入すると、$a\cdot4+3=4a+3$
5を代入すると、$a\cdot5+3=5a+3$
6を代入すると、$a\cdot6+3=6a+3$
7を代入すると、$a\cdot7+3=7a+3$
8を代入すると、$a\cdot8+3=8a+3$
9を代入すると、$a\cdot9+3=9a+3$
10を代入すると、$a\cdot10+3=10a+3$
$\Sigma$の上に$10$と書いてあるので10まで代入してストップ
なので、これらを合計して
$$\displaystyle\sum_{c=1}^{10} ac+3$$
$$=(a+3)+(2a+3)+(3a+3)+(4a+3)+(5a+3)+$$
$$~~~(6a+3)+(7a+3)+(8a+3)+(9a+3)+(10a+3)$$
$$=55a+30$$
あっ!そこの
計算量ぃみゎかんなぃ。。。。
もぅマヂ無理。
シグマやめょ・・・
って思った君。まあ待って欲しい。そんな不便なものならわざわざ義務教育で税金使って教えると思うかい?$\Sigma$の計算にもう少し詳しくなれば、上記のような計算も、1,2行で解けるようになるから期待して待って欲しい。

エントロピーのコンセプトを簡単に説明してみる

情報理論におけるエントロピーとかいう、微妙に分かりづらい、わかったような気になるヤツを、自分用に軽くコンセプトをメモる。

今回は「自己情報量とは何か」まで。

ある事象(なんでもいい。誰かが転んだ、誰かが宝くじで当てた、誰かがサイコロで1を出した)が起きる時、その事象が起きる確率がある。
例えば、「友達がサイコロで1を出した」という事象について考えてみる。
正直なはなし、どうでもいい事象だ。しかし、
例えば、「友達が宝くじで1等を出した」という事象について考えてみると、
先程よりも、どうでもよくない事象だ。だが、
例えば、「友達がサイコロで一桁の数字を出した」という事象は、
まったくもってどうでもいい事象だ。
このような「大事な情報かどうか」を数学的に判断したいと、昔のヒトが思ったわけだ。
その方法は至って簡単で
例えば事象の起こる確率$P_{(x)}$(以降、生起確率という)が
$$P_{(x)}=\frac{1}{6}$$
ならば、その事象が大事な情報かどうかは、その逆数を見ればいい
つまり、「情報の大事かどうかを表す度合い」を$I'_{(x)}$とすると、
$$I'_{(x)}=\frac{1}{P_{(x)}}=\frac{1}{\frac{1}{6}}=\frac{6}{1}=6\tag{1}$$
と言った具合。「その情報の重要度は6です。」という風に言うことができるようになった。
じゃ他の例でもやってみよう。友達が宝くじで1等を当てたとしよう。
宝くじ1枚買ったときの当選確率は0.000005%だそうだ。
ということは生起確率$P_{(x)}$は
$$P_{(x)}=\frac{5}{100000000}$$
だから「情報の大事かどうかを表す度合い」の$I'_{(x)}$は
$$I'_{(x)}=\frac{1}{P_{(x)}}=\frac{1}{\frac{5}{100000000}}=\frac{100000000}{5}=20000000\tag{2}$$
となる。
ところで、全く「大事じゃない」情報「情報の大事かどうかを表す度合い」0になるはずだ。
やってみよう。
「サイコロを振ったら整数がでた」という情報は、全く大事ではない。だってサイコロを振って整数が出ることはわかりきったことだから。だから「情報の大事かどうかを表す度合い」は0にならなければいけない。
実際に計算してみる。
「サイコロを振って整数がでる」ことの生起確率$P_{(x)}$は
$$P_{(x)}=\frac{1}{1}$$
であるから、
$$I'_{(x)}=\frac{1}{P_{(x)}}=\frac{1}{\frac{1}{1}}=\frac{1}{1}=1\tag{3}$$
あるぇ、0じゃないぞ、となる。まったく価値のない情報の「大事度」が1なのはおかしい
どうしたものか。
そこで、昔のエライ人達は、対数とか呼ばれるものを使うことにした。$log_a B$とかいうやつ。
このときaの部分は「底」と呼ばれる数値で、情報理論で「大事度」を求めるときには$a=2$にし、Bの部分は「真数」と呼ばれる数値で、ここに$I'(x)$を入れてやればいい。この
$$log_2I'_{(x)}$$
のことを「自己情報量」といい、$I_{(x)}$と表す。
実際にやってみよう。
(1)の場合
$$I_{(x)}=log_2I'_{(x)}=log_2 6=2.58496250072\tag{1'}$$
(2)の場合
$$I_{(x)}=log_2I'_{(x)}=log_2 20000000=24.2534966642\tag{2'}$$
(3)の場合
$$I_{(x)}=log_2I'_{(x)}=log_2 1=0\tag{3'}$$
これが、自己情報量。
最後の数値はどうやって計算したかって?
「電卓」
式さえ作れたら、後は電卓がやってくれる。
というわけで、
$$I'_{(x)}=\frac{1}{P_{(x)}}$$
$$I_{(x)}=log_2I'_{(x)}$$
から、自己情報量を出すための式はこうなることがわかる。
$$I_{(x)}=log_2I'_{(x)}=log_2\frac{1}{P_{(x)}}$$

問題
すべての面が同じ確率で出るサイコロがある。友達がそのサイコロを振った所、「偶数」だったという。この事象の自己情報量はいくらか?
プロフィール

すぺくとる

Author:すぺくとる
ウディタ・Unity・UE4などなど。
MUGEN関連製作物等々は下の方の”星屑の倉庫”に置いてあります。好きに持って帰っていいですよ。
改変転載は要相談ということで。

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