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微分のおはなし part1 微分ってなんだ

前回極限をやったので、ついに微分に入れる。
微分というのは、直線以外の関数の、傾きを求めること。
でも、曲線の傾きって、どうやって出すんだろう。
たとえば
$f(x)=x^2$
という関数があった時、その関数上で
$x=1$の点と$x=2$の点は、$x=2$の方が傾きは急な気がする。
bibun1.png 
つまり、曲線の場合、傾きはただ決まった数字じゃなくて、場所によって違う数値になりそうな気がするよね。
だから
「$x=1$の時の傾きは$2$です」とか、
「$x=3$のときの傾きは$5$です」とかいう言い方をするはず。
じゃあ、今回は試しに「$f(x)=x^2$の、$x=1$のときの傾き」を求めてみよう。
$f(x)=x^2$の、$x=1$の点は、下の図の位置だよね。
bibun2.png 
で、この点をギリギリかすめるように通る直線(下図)
bibun3.png 
の傾きが、「$f(x)=x^2$の、$x=1$のときの傾き」になる。
こういう風に、曲線にちょうど触れるように通っていく直線のことを「接線」という。
つまり、この「接線」の傾きを求めれば、$f(x)=x^2$の、$x=1$のときの傾き」が出せたことになるわけだ。
でも、この接線の傾きを直接求めるのは難しい。
なので、まずは騙されたとおもって、この直線の傾きを出していこう。
bibun4.png 
求めたいのは$x=1$の時の傾きだったんだけど、それが出せないんだから、$x$を$1$だけ増やした隣の数$x=2$とを結ぶ直線の傾きを出そう。
まあ、遠からず近からずな数値が出てくれるでしょ。じゃあ出そう。
傾きは、「$x$が$1$進んだ時に、$y$がいくら増えるか」だった。
だから、今回の二点はそれぞれどのように増えたかというと、
$x$は$1$増やした。
$y$は$f(1)=1$から$f(2)=4$まで増えたので、$4-1=3$増えた。
だから、直線の傾き$a$は
$$\begin{eqnarray}a=\frac{y}{x}&=&\frac{4-1}{1}\\&=&3\end{eqnarray}$$
ということがわかる。
さっきは$x$を$1$だけ増やしたけど、次は$x$を$0.5$だけ増やそう。
bibun5.png 
このときの直線の傾きは
$x$は$0.5$増やした。
$y$は$f(1)=1$から$f(1+0.5)=1.5^2=2.25$まで増えたので$2.25-1=1.15$増えた。
だから、直線の傾き$a$は
$$\begin{eqnarray}a=\frac{y}{x}&=&\frac{2.25-1}{0.5}\\&=&2.5\end{eqnarray}$$
ということがわかる。もう一回だけ点を近づけてみよう。
$x$を$0.1$だけ増やした。
bibun6.png 
この時の直線の傾きはいくらだろうか。
$x$は$0.1$増やした。
$y$は$f(1)=1$から$f(1+0.1)=1.1^2=1.21$まで増えた。
なので傾き$a$は
$$\begin{eqnarray}a=\frac{y}{x}&=&\frac{1.21-1}{0.1}\\&=&2.1\end{eqnarray}$$
ということがわかる。
だんだんと接線の傾きに近い数値になってきた。
ここで、$x$の増やす数値を$h$と置いて、傾きを出していこう。
$x$は$h$増えた。
$y$は$f(1)=1$から$f(1+h)=(1+h)^2$まで増えた。
なので傾きは
$$a=\frac{y}{x}=\frac{(1+h)^2-1}{h}$$
ということがわかる。
ここで、増やす量$h$をどんどん小さくして$0$に近づけていけば、どんどん正確な傾きになっていくよね。
そういう操作のことを極限でやったので、上の式で$h$を$0$にむけて動かしていきたいので
$$\begin{eqnarray}a&=&\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)^2-1}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}\frac{(h^2+2h+1)-1}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}\frac{h^2+2h}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}h+2\\&=&0+2\\&=&2\end{eqnarray}$$
これが、$f(x)=x^2$の、$x=1$の時の傾きだということがわかる。


じゃあ、$f(x)=x^2$の、$x=2$の時の傾きはいくらだろう。
$x$を$h$だけ増やすと、
$y$は$f(2)=2^2=4$から$f(2+h)=(2+h)^2$まで増えるので
$$\begin{eqnarray}a&=&\lim_{h \to 0}\frac{(2+h)^2-4}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}\frac{(h^2+4h+4)-4}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}\frac{h^2+4h}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}h+4\\&=&0+4\\&=&4\end{eqnarray}$$
ちゃんと求められた。


最後に、$f(x)=x^2$の、$x=A$の時の傾きはいくらだろう。
$x$を$h$だけ増やすと、
$y$は$f(A)=A^2$から$f(A+h)=(A+h)^2$まで増えるので
$$\begin{eqnarray}a&=&\lim_{h \to 0}\frac{(A+h)^2-A^2}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}\frac{(h^2+2Ah+A^2)-A^2}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}\frac{h^2+2Ah}{h}\\&=&\lim_{h \to 0}h+2A\\&=&0+2A\\&=&2A\end{eqnarray}$$
ということなので、
$f(x)=x^2$の、$x=A$の時の傾きは$2A$だということがわかった。なので
$f(x)=x^2$の、$x=3$の時の傾きは$2\cdot3=6$だし
$f(x)=x^2$の、$x=10$の時の傾きは$2\cdot10=20$だし
$f(x)=x^2$の、$x=-5$の時の傾きは$2\cdot(-5)=-10$だ。

もっと一般的な話をすると、
中身の決まっていない関数$f(x)$があったとき、$x=A$での傾きは
$x$を$h$増やす間に
$y$は$f(A)$から$f(A+h)$まで増えるから
その傾きは
$$\begin{eqnarray}a&=&\lim_{h \to 0}\frac{f(A+h)-f(A)}{h}\end{eqnarray}$$
ということがわかる。
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微分のおはなし part0 極限

ある直線の傾きを出したいと思ったときには,
$y=ax+b$
のうち
$a$の部分を見ればいいし,
グラフしか与えられていなければ,その直線が,
$x$が1増える間に$y$がいくら増えているかを測ればよかった。
じゃあ,曲線の傾きってどうやったら出せるんだろう,っていうお話。
で,それを求めるには「微分」という概念を使うんだけど,その「微分」をするためには「極限
」という概念が必要だ。
まずは今回は,その「極限」について。

例えばある関数$f(x)$があった。なんでもいいんだけど,じゃあ今回は
$f(x)=x^2+x$
だったとしよう。そのとき,$x=3$,つまり$f(3)$はいくら?

・・・

簡単だよね。
$\begin{eqnarray}f(3)&=&3^2+3\\&=&12\end{eqnarray}$
だ。ここまでは普通。

じゃあ,
$x$を
$\begin{eqnarray}x&=&2.9\\x&=&2.99\\x&=&2.999\\x&=&2.9999\end{eqnarray}$
のように,ずーーーーっと3に近づけていったとき,$f(x)$はどんな数字に近づいていくだろうか。
$\begin{eqnarray}f(2.9)&=&(2.9)^2+2.9&=&11.31\\f(2.99)&=&(2.99)^2+2.99&=&11.9301\\f(2.999)&=&(2.999)^2+2.999&=&11.99301\\\vdots\\f(2.9999999999)&=&(2.9999999999)^2+2.9999999999&\fallingdotseq&11.9999999993\\\vdots\end{eqnarray}$
$x$が$3$にどんどん近づいていくとき,$f(x)$は$12$にどんどん近づいていく。
そういう状況のことを
$$\lim_{x \to 3}f(x)=12$$
と書く。
今回は$f(x)=x^2+x$なので,
$$\lim_{x \to 3}x^2+x=12$$
と書いてもいい。このように書いたとき,$x$は決して$3$自体になることはない。
「$x$がめっっっちゃ$3$に近いときには,$f(x)$は$12$にめっっっちゃ近いよ」
という意味である。
こんなとき,出てくる$12$のことを
「$x$を$3$に限りなく近づけた時の関数$f(x)$の極限値」とか
「$x\longrightarrow3$のの時の関数$f(x)$の極限値」というふうな言い方をする。
通常,特に「普通に代入」が出来るときには,その極限値は代入値と同じになる。
例えば,
$f(5)=10$
のとき,
$\displaystyle{\lim_{x \to 5}f(x)=10}$
だし,
$f(0)=8$
のとき,
$\displaystyle{\lim_{x \to 0}f(x)=8}$
ということだ。じゃあ,問題


問1
計算せよ
$\displaystyle{(1) \lim_{x \to 3}2x}$
$\displaystyle{(2) \lim_{x \to 0}ax^3-4x+a}$
$\displaystyle{(3) \lim_{\theta \to \pi}sin(\theta)}$





解答
$\displaystyle{(1) \lim_{x \to 3}2x=2\cdot3=6}$
$\displaystyle{(2) \lim_{x \to 0}ax^3-4x+a=a\cdot0^3-4\cdot0+a=a}$
$\displaystyle{(3) \lim_{\theta \to \pi}\sin(\theta)=\sin(\pi)=0}$

以上。

$(3)$は三角関数っていうものを知ってないと解けないけど,ほかは解けるはず。
なーーんだ単なる代入じゃん!って思えたらgood。
じゃあ,次は「単なる代入」ができない場合の極限値を求めよう。
今回の関数は
$$f(x)=\frac{x^3+x}{|x|}$$
だ。この時,「$x\longrightarrow0$の時の$f(x)$の極限値」を求めたい。
ここで,
$$\lim_{x \to 0}f(x)=\frac{0^3+0}{|0|}$$
としたい気持ちはすごくわかるが,これはとてもまずい。
分母に0を持ってくることは,数学では禁忌であり,黒魔術だ。
そのようなことをすれば数学教諭から一生涯白い目でみられることになる。
このように,「単純に代入したら関数の分母が0になってしまう」場合には,
ただの代入値で極限値を求めることはできない。
じゃあ,このような場合,どうすればいいかというと
「右側極限」「左側極限」
という概念を使って攻略していく。


まずは,右側極限から。
右側極限とは,今回の場合,$x\longrightarrow0$の時の$f(x)$の極限値を求めるので,
$f(0.1)$
$f(0.01)$
$f(0.001)$
$\vdots$
$f(0.000...1)$
のように,数直線で見たときに右側から徐々に近づけていった時の極限値のことだ。
この時,0に右側から近づくので$x>0$。だから,$|x|=x$,$x\neq 0$ということがわかる。
なのでこの時
$$\begin{eqnarray}f(x)&=&\frac{x^3+x}{|x|}\\&=&\frac{x^3+x}{x}\\&=&\frac{x^2+1}{1}\\&=&x^2+1\end{eqnarray}$$
ということができる。
$x\longrightarrow a$,つまり,xをaに限りなく近づけるとき,
右側極限の場合は
$\displaystyle{\lim_{x \to a}}$のかわりに
$\displaystyle{\lim_{x \to a+0}}$という書き方をする。
それを使って右側極限を求めると,
$$\begin{eqnarray}\lim_{x \to 0+0}f(x)&=&\lim_{x \to 0+0}x^2+1\\&=&0^2+1\\&=&1\end{eqnarray}$$
ということがわかった。
左側極限とは,今までと逆に,数直線でいう左側から徐々に近づけていった時の極限値のこと。今回ならば,
$f(-0.1)$
$f(-0.01)$
$f(-0.001)$
$\vdots$
$f(-0.000...1)$
としていった時の極限値のこと。
この時,$x<0$だから,$|x|=-x$で,$x\neq0$ということがわかる。なので
$$\begin{eqnarray}f(x)&=&\frac{x^3+x}{|x|}\\&=&\frac{x^3+x}{-x}\\&=&\frac{-x^2-1}{1}\\&=&-x^2-1\end{eqnarray}$$
だ。左側極限の場合,
$\displaystyle{\lim_{x \to a}}$のかわりに
$\displaystyle{\lim_{x \to a-0}}$という書き方をする。
これを使って左側極限を求めると,
$$\begin{eqnarray}\lim_{x \to 0-0}f(x)&=&\lim_{x \to 0-0}-x^2-1\\&=&-0^2-1\\&=&-1\end{eqnarray}$$
ということがわかる。ちなみに,
$x\longrightarrow0+0$のことは普通$x\longrightarrow+0$
$x\longrightarrow0-0$のことは普通$x\longrightarrow-0$と省略して書く。
ぜんぶまとめると,
$$f(x)=\frac{x^3+x}{|x|}$$
の時,
$$\begin{eqnarray}\lim_{x \to +0}f(x)&=&1\\\lim_{x \to -0}f(x)&=&-1\end{eqnarray}$$
ということがわかった。
これがどういうことを示しているかというと,
「$x\longrightarrow0$の時の関数$f(x)$の極限値は,右側からxを0に近づけると1になり,左側からxを0に近づけると-1になる」
ということだ。このように,右側極限と左側極限が異なる数値の場合,
$x\longrightarrow0$の時の関数$f(x)$の極限値は存在しない」
という。
参考までに、
$$f(x)=\frac{x^3+x}{|x|}$$
のグラフを下においとく。0を代入できない理由がなんとなくわかるでしょ
graph 

対数関数 その2 常用対数

前回
$\log_2 16$
のような、簡単な対数が計算できるようになった。
$\log_2 16$について
小さい文字$_2$の部分を「底(てい)」
大きい文字$16$の部分を「真数(しんすう)」と呼ぶ。

対数は、真数部分を指数表記することで、少し楽ができる。例えば
$\log_3 49$について
$\log_3 49=\log_3 7^2$
である。
この時、真数部分の指数部($^2$)を、$\log$の前に掛け算の形で出すことができる。
$\log_3 7^2=2\cdot\log_3 7$
つまり、
$\log_3 49=2\cdot\log_3 7$
と書くことができる。なお、logの前の$\cdot$は省略できる。
なので
$\log_3 125=\log_3 5^3=3\log_3 5$
だし
$10\log_{10} 4=10\log_{10} 2^2=20\log_{10} 2$
と書ける。
つまり
$\log_x Y^z=z\log_x Y$
だ。

問題
次の式を簡単にせよ
(1)$2\log_4 36$
(2)$\log_a b^c$

解答
(1)$4\log_4 6$
(2)$c\log_a b$

対数は、真数部分を積の形で表記することで、少し楽ができる。
ここから先
$\log_{10} 2\fallingdotseq0.301$
$\log_{10} 3\fallingdotseq0.4771$
$\log_{10} \pi\fallingdotseq0.5$
を使っていく。

$\log_{10} 6$
について考える。真数を積の形で書くと
$\log_{10} 6=\log_{10} (2\cdot3)$
と書ける。このように、真数が積の形で書かれた時
$\log_{10} (2\cdot3)=\log_{10} 2 + \log_{10} 3$
というように、対数を分解することができる。
ということは
$\log_{10}6=\log_{10} 2 + \log_{10} 3\fallingdotseq0.301+0.4771=0.7781$

$\displaystyle\log_{10}\frac{4}{\pi^2}$
について考える。
真数を積の形になおそう。
$\displaystyle\frac{1}{\pi^2}=\pi^{-2}$
$\displaystyle4=2^2$
だから
$\displaystyle\log_{10}\frac{4}{\pi^2}=\log_{10}\left(2^2\cdot\pi^{-2}\right)$
だ。
なので
$\displaystyle\log_{10}\frac{4}{\pi^2}=\log_{10}\left(2^2\cdot\pi^{-2}\right)=\log_{10}{2^2}+\log_{10}\pi^{-2}=2\log_{10}2-2\log_{10}\pi$
$\displaystyle2\log_{10}2-2\log_{10}\pi\fallingdotseq2\cdot0.301-2\cdot0.5=-0.398$
となる。つまり
$\displaystyle\log_a\frac{B}{C}$という形の時
$\displaystyle\frac{B}{C}=B\cdot C^{-1}$であるため
$\displaystyle\log_a\frac{B}{C}=\log_a{B}-\log_a{C}$
と書き換えることができる。

対数関数 その1 対数の基礎

前回、指数とは何かについて書いた。そして、指数部には小数や分数が入ってもいいということも学んだ。

$2^3=8$
$2^4=16$
ということは、3以上4以下の範囲で
$2^x=10$
になるような$x$があるはずだ。
そして、ある。
$2^{3.322}\fallingdotseq 10$
この、
$2^x=10$となるような$x$のことを
$\log_2 10$
書く。
同じように、
$3^x=9$
となるような$x$のことを
$\log_3 9$と書く。
つまり
$\log_3 9 = 2$
ということがわかる。

問題
次のようになる$x$を$\log$を使って書け。
(1)$7^x = 100$
(2)$\left(\frac{3}{5}\right)^x=5$
(3)$e^x=\cos\theta+i\sin\theta$

解答
(1)$\log_7 100$
(2)$\log_\frac{3}{5} 5$
(3)$\log_e(\cos\theta+i\sin\theta)$
(3)は、多項式全体を$\log$の中に入れなければならないので、カッコは必ずつけよう。

さて
$\log_a b$が具体的にどんな数値なのかを求めるということは、
「aっていう数値は、何乗すればbになるでしょ〜〜か?」という問題を解くということだ。
具体的には
$\log_2 8$を計算する場合
「2っていう数値は、何乗すれば8になるでしょ〜〜か?」ということだから
$2^3=8$
より、
$\log_2 8 = 3$
ということがわかる。
なので
$2^{\log_2 8}$を計算する場合
2の「2の指数にしたら8になるような数」乗なので、当然8になる。
もうひとつ具体例
$3^{\log_3 100}$を求めてみる。
$\log_3 100$というのは、$3^x=100$となるような$x$のことだった。
なので、
$3^{\log_3 100}=100$
だ。

問題
計算をせよ
(1)$\log_4 16$
(2)$\log_5 125$
(3)$3^{\log_3 7}$
(4)$a^{\log_a b}$

解答
(1)$2$
(2)$3$
(3)$7$
(4)$b$

対数関数 part0 指数法則について

ある程度進んだお勉強をしてると、指数や対数はよく出てくる。
そういう時、高校時代に算数サボってたり、あるいは学校で対数について教わったことがなかったりすると、詰む。
なので、そういった人たち向けに、あるいは軽く復習したい人向けに。
そもそも対数というのは
$log_aX$
こんなの。
これを理解するためには、対数そのものの前に指数の理解が必要だ。だから、今回の記事では指数について軽くおさらい。
では行こう。
指数というのは
$A^B$
こんなの。
具体的には
$3^2$
とか
$x^3$
とかいう形で数式に現れる。
$x^3$とは何かというと、
$x\cdot x\cdot x$
のこと。つまり、$x$を3回掛け算しましょう、という意味。
似たような(突っ込むなよ?)数式に、
$3x$
というものがあるが、これは
$3\cdot x$つまり、$3$かける$x$という意味だ。
この違いを頭に完璧に叩き込んだら、次に行こう。
というのも、一部の読者はびっくりするかもしれないが、指数と掛け算の区別がつかない高校生って意外と少なくないのだ。

問題
次の数式を指数を使わないかたちに書き直せ
(1)$x^4$
(2)$xy^3$
(3)$(xy)^3$

解答
(1)$x\cdot x\cdot x\cdot x$
(2)$x\cdot y\cdot y\cdot y$
(3)$(xy)\cdot(xy)\cdot(xy)=x\cdot x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot y$

ここまでは、中学校レベル。ここから難しくなるぞ。
これから考えるのは、例えばこんなもの
$3^{0.2}$
3を0.2回掛け算するとはなんぞや、と思うかもしれないが、この記事を読み終わるころにはきっと解けるようになる。
さて行こう。
$x^3\cdot x^2$
という数式を考えよう。
$x^3\cdot x^2=(x\cdot x\cdot x)\cdot(x\cdot x)$
だ。掛け算は順序を変えてもいいので、
$x^3\cdot x^2 = (x\cdot x\cdot x)\cdot(x\cdot x) = x^5$
ということがわかる。
他にも、
$3^2\cdot3^2=(3\cdot3)\cdot(3\cdot3)=3^4$
となる。もっと一般的な話をすると、
$x^a\cdot x^b=x^{(a+b)}$
ということがわかる。まずは、この公式を覚えよう。

問題
次の数式を簡単にせよ。
(1)$x^5\cdot x^4$
(2)$x^y\cdot x^z$
(3)$(ab)^2\cdot(ab)^3$

解答
(1)$x^{(5+4)}=x^9$
(2)$x^{(y+z)}$
(3)$(ab)^{(2+3)}=(ab)^5=a^5b^5$

じゃあ次に行こう。
$(3^5)^3$
という数式を考えよう。
$(3^5)^3=3^5\cdot3^5\cdot3^5=3^{15}$
となる。
$(a^b)^c=a^{bc}$
という公式が生まれた。

今作った2つの公式で面白いことをしてみる。
$x^a\cdot x^b=x^{(a+b)}$
より
$5^0\cdot 5^3=5^{(0+3)}=5^3$
$5^0\cdot 5^3=5^3$
$5^0\cdot 125=125$
となる。
ということは、
$5^0 = 1$
という事実が明らかになった。
$x^0 = 1$
確実に覚えてほしい。0ではないです。
次。
$(x^a)^b=x^{ab}$
より、
$(3^{0.5})^2=3^{(0.5\cdot2)}=3$
$(3^{0.5})^2=3$
ということがわかった。
つまり$3^{0.5}$を2回かけると3になる。
そういう、2回掛けたらナニカになる数値は「平方根」を使って表せばよい。
$3^{0.5}=\sqrt{3}$
ということがわかった。
ここから先はかなり難しいが、ついてきてほしい。
$\displaystyle x^{\frac{1}{a}}$が何になるかを考えよう。
このままでは$\displaystyle x^{\frac{1}{a}}$の正体はわからないが、ある工夫をすると、解決の糸口が見える。
こんな感じ
$\displaystyle \left(x^{\frac{1}{a}}\right)^a=x^{\frac{1}{a}\cdot a}=x$
$\displaystyle \left(x^{\frac{1}{a}}\right)^a=x$
つまり、
$\displaystyle x^{\frac{1}{a}}$を$a$回掛けるとxになるということがわかった。
しかし、また問題が起こった。2回掛けたらxになる数のことを$\sqrt{x}$と書くことは知っているが、
「3回掛けたらxになる数」や、「5回掛けたらaになる数」のことを何と書けばいいのだろうか。
じつは、これは簡単で、
「3回掛けたらxになる数」のことは$\sqrt[3]{x}$と書けばいいし、
「5回掛けたらaになる数」のことは$\sqrt[5]{a}$と書けばいい。
$\displaystyle x^{\frac{1}{a}}$とは、「$a$回掛けるとxになる数」なのだから
$\displaystyle x^{\frac{1}{a}}=\sqrt[a]{x}$
ということがわかった。
では、問題

問題
以下の数式を指数を使わない形に変形せよ
(1)$3^{0.2}$
(ヒント:指数部が小数の場合は、分数に直してみるといい)

解答
(1)$3^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}$
プロフィール

すぺくとる

Author:すぺくとる
ウディタ・Unity・UE4などなど。
MUGEN関連製作物等々は下の方の”星屑の倉庫”に置いてあります。好きに持って帰っていいですよ。
改変転載は要相談ということで。

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